11wk: 적분 (1)

강의영상

youtube: https://youtube.com/playlist?list=PLQqh36zP38-wE3YLAgBkDd80KhdCztqy4

약속

기호에 대한 암묵적 약속

- 르벡메져: 르벡메져는 지금까지 \(m\)으로 표현 \(\Rightarrow\) 앞으로는 \(\lambda\)로 표현.

- 메져: \(\mu,\nu\) 등으로 표현.

- 분포, 분포함수, 밀도함수: 확률공간 \((\Omega, {\cal F}, P)\)에서 정의된 확률변수 \(X\)에 대응하는 분포는 \(\mu_X\), 그에 대응하는 분포함수는 \(F_X\), 그에 대응하는 밀도함수는 \(f_X\)라고 표현.

- 일반적인 교재의 표기법

• 르벡메져: \(\mu\), \(\lambda\), \(m\)
• 메져: \(\mu\), \(\nu\), \(m\)
• 분포: \(\mu\)
• 분포함수: \(F\), \(F_X\)
• 밀도함수: \(f\), \(f_X\)

- 잴 수 있는 함수의 표현 (아래는 모두 같은말)

• 두 개의 가측공간 \((\Omega, {\cal F})\), \((S, {\cal S})\)을 고려하자. 함수 \(f:\Omega \to S\)는 \(\forall B \in {\cal S}:~\{\omega: f(\omega) \in B\} \in {\cal F}\) 을 만족한다.
• 두 개의 가측공간 \((\Omega, {\cal F})\), \((S, {\cal S})\)을 고려하자. \(f:\Omega \to S\)는 잴 수 있는 함수이다.
• \(f:(\Omega,{\cal F}) \to (S, {\cal S})\)
• \(f\)는 \({\cal F}-{\cal S}\) measurable 하다.
• \(f \in {\cal F}\), 이 표기법은 \((S,{\cal S})=(\mathbb{R}, {\cal R})\)일 경우에 한정하여 사용할 수 있음.
• \(f\)는 \(S\)-valued measurable map

확장된 실수공간

- 교재에 따라서 확장된 실수공간 \(\bar{\mathbb{R}}\)를 고려하기도 한다. (Durrett 2019, p 14)

\[\bar{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty\} \cup \{\infty\}\]

- 또한 확장된 실수공간에 대응하는 보렐셋을 정의하기도 한다.

\[{\cal B}(\bar{\mathbb{R}})=\bar{\cal R}\]

- \(\infty\), \(-\infty\)는 실수가 아니다. 따라서 \(x\in \mathbb{R}\) 인 경우는 \(x\)를 real-valued 라고 표현하지만 \(x \in \bar{\mathbb{R}}\) 인 경우는 \(x\)를 \(\bar{\mathbb{R}}\)-valued 라고 표현한다.

로드맵

- 목표: 밀도함수에 대한 소개

- 로드맵: (적분, 칸토어집합) \(\to\) 밀도함수

예비학습

\((\mathbb{R}^d, {\cal R}^d)\)

- 정의: 두개의 집합 \(A\), \(B\)가 있을때 두집합의 곱집합 (cartesian product) \(A\times B\)를 아래와 같이 정의한다.

\[A\times B=\{(a,b): a \in A, b \in B\}\]

- 정의: 수직선상의 두 열린구간 \((a_1,b_1)\), \((a_2,b_2)\) 의 곱집합

\[({\boldsymbol a},{\boldsymbol b}) = \bigtimes_{i=1}^{2}(a_i,b_i)= (a_1,b_1) \times (a_2,b_2)\]

을 open rantangle 이라고 한다. 비슷한 논리전개로 \(({\boldsymbol a},{\boldsymbol b}],[{\boldsymbol a},{\boldsymbol b}),[{\boldsymbol a},{\boldsymbol b}]\) 역시 정의할 수 있다.

- 이론: 아래와 같은 집합들의 모임 \({\cal A}\)를 생각하자.

\[{\cal A}=\{({\boldsymbol a}, {\boldsymbol b}]: {\boldsymbol a} < {\boldsymbol b},~ {\boldsymbol a}, {\boldsymbol b} \in \mathbb{R}^2\}\]

여기에서 \({\boldsymbol a}< {\boldsymbol b}\)는 “\(a_1<b_1\) and \(a_2 < b_2\)” 를 의미한다.

1. 시그마필드 \(\sigma({\cal A})\)는 잘 정의된다. (귀찮아서 만든 이론1)
2. \(\sigma({\cal A})\)은 \({\cal R}\)의 2차원버전이라 해석할 수 있다.
3. 이러한 의미에서 \({\cal R}^2=\sigma({\cal A})\)라는 기호를 쓰기도 한다.
4. \((\mathbb{R}^2, {\cal R}^2)\) 는 잴 수 있는 공간이다.
5. 함수 \(\tilde{\lambda}: {\cal A} \to [0,\infty]\)를 아래와 같이 정의하자. 카라테오도리의 확장정리에 의하여 \(\tilde{\lambda}\)는 \((\mathbb{R}^2,{\cal R}^2)\) 에서의 메져가 된다. \[\tilde{\lambda}(({\boldsymbol a},{\boldsymbol b}])=\prod_{i=1}^{2}(b_i-a_i)\]
6. 08주차에 정리된 모든 \({\cal A}_i\)에 대하여, \(\sigma({\cal A}_i)={\cal R}^2\) 을 만족한다.

- 체크: \((\mathbb{R}^2, {\cal R}^2)\) 와 동일한 논리전개가 \((\mathbb{R}^d, {\cal R}^d)\) 에서도 성립한다.

sup, inf

- 집합 \(A=\{1,2,3\}\)에 대하여 아래의 표현을 살펴보자.

• \(\max A =3\)
• \(\min A =1\)

- 집합 \(A=[0,2]\)에 대하여 아래의 표현을 살펴보자.

• \(\max A =2\)
• \(\min A =0\)

- 집합 \(A=(0,2)\)라면?

• \(\max A =???\)¹
• \(\min A =???\)²
• \(\sup A = 2\)
• \(\inf A = 0\)

¹ 2라고 하고싶은데 2라고 할 수 없다. (즉 정의할 수 없다.)

² 0이라 하고싶은데 0이라고 할 수 없다. (즉 정의할 수 없다.)

- 가짜정의: 어떠한 집합 \(A\)가 있다고 할떄 \(\sup A\)와 \(\inf A\)는 각각 \(\max A\)와 \(\min A\)의 개념을 좀 더 업그레이드 한것이다. \(\max A\)는 \(A\)의 원소중 최대값을 의미하는데 이러한 \(\max\)의 정의는 구간 \([0,2)\)의 최대값은 \(2\)라고 주장할 수 없어 쓰기에 불편할 때가 있다. \(\min\) 역시 마찬가지의 불편함이 있다. 이를 보완하기 위해 등장한 개념이 \(\sup\)과 \(\inf\)이다.

- 트릭: 증가하는 수열 \(a_n\)의 경우 \(\sup\{a_n\}\)은 수열 \(\{a_n\}\)의 극한을 의미하기도 한다. 반대로 감소하는 수열 \(\{a_n\}\)의 경우 \(\inf \{a_n\}\)이 \(\{a_n\}\)의 극한을 의미하기도 한다.

잘못된 사용

1. 집합들의 집합에서 \(\inf,\sup\)의 잘못된 사용: 부등호 \(<\)를 \(\subset\)으로 해석

• 예시1: \(\inf\big\{(-\frac{1}{n},0]: n \in \mathbb{N}\big\}=\{0\}\) // 틀린표현
• 예시2: \(\sup\big\{[0,1-\frac{1}{n}]: n \in \mathbb{N}\big\}=[0,1)\) // 틀린표현

2 함수들의 집합에서 \(\inf,\sup\)의 잘못된 사용: 부등호 \(f<g\) 를 “\(\forall x: f(x)<g(x)\)” 로 해석

• 예시1: \(f(x)=x\) 일때, \(\sup\big\{f_n: f_n(x)=x-\frac{1}{n}, n \in \mathbb{n} \big\}=f\) // 틀린표현

잴 수 있는 함수들

- 이론: 두 개의 잴 수 있는 공간 \((\Omega, {\cal F})\), \((\mathbb{R}, {\cal R})\)을 고려하자. \({\cal F}\)-measurable 한 집합 \(A\)에 대하여³ 함수 \(f:\Omega \to \mathbb{R}\)을 아래와 같이 정의한다고 하자.

³ \(A \in {\cal F}\)이라는 뜻

\[f(\omega) = \begin{cases} 1 & \omega \in A \\ 0 & \omega \not \in A \end{cases}\]

함수 \(f\)는 \({\cal F}-{\cal R}\) measurable function 이다.

(해설)

1. \(B \in {\cal R}\)를 고정하자.
2. 만약에 \(\{1,0\} \not \subset B\) 이라면 \(\{\omega: f(\omega) \in B\}=\emptyset \in {\cal F}\) 이다.
3. 만약에 \(\{1\} \subset B, \{0\} \not \subset B\) 이라면 \(B=\{1\} \cup (B-\{1\})\) 와 같이 분해한다.
4. \(f\)는 함수이므로 \(f^{-1}(B)=f^{-1}(\{1\}) \cup f^{-1}(B-\{1\})\)를 만족한다.
5. \(f^{-1}(\{1\})=A\)이고 \(f^{-1}(B-\{1\})=\emptyset\) 이므로 \(f^{-1}(B)=A \in {\cal F}\) 를 만족한다.
6. 3-5의 논의가 \(\{0\} \subset B, \{1\} \not \subset B\) 에 대해서도 성립한다.
7. \(\{0,1\} \subset B\) 인 경우에는 \(f^{-1}(B) =\Omega\)가 되므로 \(f^{-1}(B) \in {\cal F}\) 를 만족한다.
8. 1-7의 논의가 임의의 \(B\)에 대하여 모두 성립하므로 \(\forall B \in {\cal R}:~f^{-1}(B) \in {\cal F}\) 이다.
9. 따라서 \(f\)는 \({\cal F}-{\cal R}\) measurable function 이다.

- 이론: 두 개의 잴 수 있는 공간 \((\Omega, {\cal F})\), \((\mathbb{R}, {\cal R})\)을 고려하자. 함수 \(f\)가 \(\mathbb{R}\)-valued measurable function 이라면 임의의 \(\alpha \in \mathbb{R}\)에 대하여 함수

\[g(\omega)=\alpha f(\omega)\]

역시 \(\mathbb{R}\)-valued measurable function 이다.

(해설)

1. \(\alpha=0\) 이라면, 자명하게 성립. 따라서 \(\alpha\neq 0\) 일 경우만 증명하면 된다.
2. \(B \in {\cal R}\)를 고정하자.
3. \(g^{-1}(B)=f^{-1}(\frac{1}{\alpha}B)\) 가 성립한다. 여기에서 \(\frac{1}{\alpha}B =: \{x: x=\frac{y}{\alpha}, y\in B\}\).
4. \(f\)는 \(\mathbb{R}\)-valued measurable map 이므로 \(f^{-1}(\frac{1}{\alpha}B) \in {\cal F}\).
5. 임의의 \(B\)에 대하여 2-4의 논의가 성립하므로 \(g\) 역시 \({\cal F}-{\cal R}\) measurable 이다.

- Thm (Durrett 2019, Thm 1.3.2): 세 개의 잴 수 있는 공간 \((\Omega,{\cal F})\), \((S,{\cal S})\), \((T,{\cal T})\)를 고려하자. \(f:(\Omega,{\cal F}) \to (S,{\cal S})\) 이고 \(g:(S,{\cal S}) \to (T,{\cal T})\) 이면 \(g\circ f: (\Omega, {\cal F}) \to (T,{\cal T})\) 이다.

- 이론: 함수 \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 연속함수라면 \(f:(\mathbb{R},{\cal R}) \to (\mathbb{R},{\cal R})\) 이다.

(해설) – 연속함수의 정의 + (Durrett 2019, Thm 1.3.1) 를 알면 이해하기 쉬운데…

- 이론: 두 개의 잴 수 있는 공간 \((\Omega, {\cal F})\), \((\mathbb{R}, {\cal R})\)을 고려하자. 함수 \(f,g\)가 \(\mathbb{R}\)-valued measurable function 이라고 하자. 아래는 모두 \(\mathbb{R}\)-valued measurable function 이다.

1. \(h:=f+g\)
2. \(h:=f-g\)
3. \(h:=\max(f,g)\), where \(h: \omega \mapsto \max(f(\omega),g(\omega))\)
4. \(h:=\min(f,g)\), where \(h: \omega \mapsto \min(f(\omega),g(\omega))\)

- 이론 (Durrett 2019, Thm 1.3.5): 두 개의 잴 수 있는 공간 \((\Omega, {\cal F})\), \((\mathbb{R}, {\cal R})\)을 고려하자. 함수열 \(\{f_n: n \in \mathbb{N}\}\)의 모든 원소가 \(\mathbb{R}\)-valued measurable function 이라고 하자. 그렇다면 아래는 모두 \({\cal F}-{\cal R}\) measurable 한 함수이다.

Durrett, Rick. 2019. Probability: Theory and Examples. Vol. 49. Cambridge university press.

• \(h:=\inf f_n\), where \(h: \omega \mapsto \inf\big\{f_1(\omega),f_2(\omega),\dots \big\}\)
• \(h:=\sup f_n\), where \(h: \omega \mapsto \sup\big\{f_1(\omega),f_2(\omega),\dots \big\}\)

적분 intro

르벡적분 맛보기

- (예제1) – 사각형의 넓이

아래와 같은 함수의 밑면적을 계산해보자.

\[f(x)= \begin{cases} 1 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & o.w. \end{cases}\]

답은 1이다. 이것을 적분을 이용하여 구하는 과정을 서술해라.

(서술1)

\[\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = \int_0^1 f(x) dx = \int_{0}^{1}dx = 1\]

(서술2)

그런데 이 예제의 경우 구간 \([0,1]\)에서 함수 \(f(x)\)의 값이 모두 \(f(x)=1\)로 같고 그 외의 구간에서는 모두 \(f(x)=0\)이므로 아래와 같이 수식을 쓰는 것도 가능하다.

\[\lambda([0,1]) \times 1= 1\]

- (예제2) – 사각형의 넓이 (2)

이제 아래와 같은 함수의 밑면적을 고려하자.

\[g(x)= \begin{cases} 1 & 0 < x < 1 \\ 0 & o.w. \end{cases}\]

이것을 적분을 이용하여 구하는 과정을 서술하고 기호를 살펴보자.

(틀린서술)

\[\int_{-\infty}^{\infty} g(x)dx=\int_0^1 g(x)dx = \int_0^1dx=1\]

– 틀린이유? \(\int_0^1\)은 폐구간 \([0,1]\)를 의미함. 이러한 구간에서는 \(g(x)\)의 값이 일괄적으로 1이라고 주장할 수 없다.

(서술1)

구간 \([0,1]\)에서 \(g(x)\)의 밑면적은 구간 \([0,1]\)에서 \(f(x)\)의 밑면적과 같으므로 1이다.

(서술2)

이 예제의 경우 구간 \((0,1)\)에서 함수 \(g(x)\)의 값이 모두 \(g(x)=1\)로 같고 그 외의 구간에서는 모두 \(g(x)=0\)이므로 아래와 같이 수식을 쓸 수 있다.

\[\lambda((0,1)) \times 1= 1\]

- (예제3) – 사각형의 넓이 (3)

이제 아래와 같은 함수 \(f(x)\)에 대한 밑면적을 계산하고 싶다고 생각해보자.

\[f(x)= \begin{cases} 1 & 0<x<1/2 \\ 2 & 1/2 \leq x < 1 \\ \frac{1}{3} & 1<x<3 \\ 0 & o.w \end{cases}\]

예제1,2에서 소개한 서술1,2에 근거하여 \(f\)의 밑면적을 구하는 방법을 논의하라.

(서술1)

\(f\)의 밑면적 \(S\)를 적분으로 나타내면

\[S=\int_{0}^{\frac{1}{2}}dx + \int_{\frac{1}{2}}^{1} 2dx + \int_{1}^{3} \frac{1}{3}dx\]

사실 \(\int_{a}^{b}f(x)dx\) 와 같은 형태는 일반적으로 함수가 \(f\)가 폐구간 \([a,b]\) 에서 정의된다고 가정하고 사용하므로 위의 기호는 정확하지 않다.

1. \(x=\frac{1}{2},1,3\)에 해당하는 영역은 중복혜서 계산된다.
2. \(x=\frac{1}{2}\)에 해당하는 영역은 함수값을 1로 보기도 하고 2로 보기도 한다.
3. \(x=1\)에 해당하는 영역은 함수값을 2로 보기도 하고 3으로 보기도 한다.
4. \(x=0\)에 해당하는 영역은 실제로는 함수값이 0이지만 계산상으로는 1로 생각한다.
5. \(x=1\)에 해당하는 영역은 실제로는 함수값이 0이지만 계산상으로는 2 혹은 \(\frac{1}{3}\)로 생각한다.
6. \(x=3\)에 해당하는 영역은 실제로는 함수값이 0이지만 계산상으로는 \(\frac{1}{3}\)로 생각한다.

하지만 이러한 사소한점을 무시해도 계산결과는 여전히 \(S\)이다.

(서술2)

함수 \(f\)의 면적 \(S\)는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

\[S = 1\times \lambda(A_1) + 2 \times \lambda(A_2) + \frac{1}{3} \lambda(A_3)\]

단, 여기에서 \(A_1=(0,\frac{1}{2}), A_2=[\frac{1}{2},1), A_3=(1,3)\) 이다.

(소감)

르벡메져를 이용하여 넓이를 정의하니까 애매한 점 없이 매우 깔끔하다. 단지 \(A_1,A_2,A_3\)이 르벡측도로 잴 수 있는 집합이어야 하므로 \(A_1,A_2,A_3 \in {\cal R}\) 정도만 체크해주면 될 것 같다.

- (예제4) – 리만적분 vs 르벡적분

이제 아래와 같은 함수 \(f\)의 밑면적을 계산하는 방식을 고려하여 보자.

\[f(x) = \begin{cases} 1 & x \in [0,1] \cap \mathbb{Q} \\ 2 & x \in [0,1] \cap \mathbb{Q}^c \\ 0 & o.w. \end{cases}\]

(서술1) – 리만적분

적분이 불가능하다. 그 이유를 엄밀하지 않게 서술하면 아래와 같다.

1. 우리가 알고 있는 “적분”이라는 것은 본래 \(x\)축을 잘게 쪼개서 아주 작은 구간을 만든뒤에 그 구간에서 \(f(x)\)의 값들이 비슷함을 이용하여 \(f(x)\)의 밑면적을 사각형넓이들의 합으로 근사시키는 방식이다.
2. 이것은 아주 작은 구간에서는 \(f(x)\)의 값이 다른값을 가져봤자 그 차이는 미미하고 그래서 거의 상수처럼 생각할 수 있다는 직관을 이용하는 것이다.
3. 일반적인 함수는 구간의 크기를 작게 만들수록 \(f(x)\)의 값은 점점 상수화되고 그 결과 사각형들의 합으로 근사된 넓이는 함수 \(f\)의 밑면적으로 수렴한다.
4. 그런데 이 예제의 경우 아무리 작은 구간을 잡아도 그 사이에는 수많은 유리수와 수많은 무리수가 있으므로 함수값 \(f(x)\)은 안정화 되지 않으며 1과 2사이를 “널뛴다.”
5. 따라서 적분값은 안정화되지 않는다.

구간에서의 \(f(x)\)의 대표값을 양 끝점중 하나로 설정한다고 하자. 만약 구간의 양끝점을 유리수로만 설정하면 넓이는 1로 계산되고, 무리수로만 설정하면넓이는 2로 계산될 것이다.

(서술2) – 르벡적분

함수 \(f\)의 면적 \(S\)는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

\[S = 1\times \lambda(A_1) + 2 \times \lambda(A_2)\]

단, 여기에서 \(A_1=[0,1] \cap \mathbb{Q}, A_2=[0,1] \cap \mathbb{Q}^c\) 이다. 집합 \(A_1,A_2\) 는 모두 \({\cal R}\)-measurable 하므로 \(\lambda(A_1), \lambda(A_2)\)의 값이 각각 0과 1로 잘 정의된다. 따라서 \(S=2\)로 계산할 수 있다.

그림을 통한 이해

- 느낌: 리만적분은 정의역을 잘게 쪼개는 느낌이지만, 르벡적분은 치역을 잘게 쪼개는 느낌이다. (리만적분을 밑넓이를 세로나누어 계산하고, 르벡적분은 가로로 나누어 계산한다.)

위키에서 긁은 그림: 왼쪽이 리만적분, 오른쪽이 르벡적분

위키에서 긁은 그림: 위쪽이 리만적분, 아래가 르벡적분

\(dx\) 대신 \(d\lambda\)를

- 리만적분(\(dx\))과 르벡적분(\(d\lambda\))를 연결하여 보자.

- 참고: 아래와 같은 함수 \(f(x)\)를 고려하자.

\[f(x) = \begin{cases} \alpha & x \in [0,1] \\ o.w \end{cases}\]

그리고 \(\lambda\)를 르벡메져라고 하자. 아래는 모두 같은 표현이다.

1. \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx\)
2. \(\int_0^1f(x)dx\)
3. \(\int_0^1 \alpha dx\)
4. \(\alpha \int_0^1 dx\)
5. \(\alpha\lambda(A)\)
6. \(\alpha\int_{A}d\lambda\)
7. \(\int_{A}\alpha d\lambda\)
8. \(\int_{A}f d\lambda\)
9. \(\int f d\lambda\)

\(d\lambda\) 대신 \(d\mu\)를

- 위의 표현들에서 \(d\lambda\)와 같은 표현은 르벡메져가 아닌 일반적인 메져에서도 표현가능하다. 만약 가측공간 \((\mathbb{R},{\cal R})\)에 아래와 같은 메져 \(\nu\)가 존재한다고 하자.

\[\nu = 2\lambda\]

여기에서 \(\lambda\)는 르벡메져이다. 그렇다면, 임의의 \(A \in {\cal R}\)에 대하여 아래가 성립한다.

\[\int_A d\nu = 2\int_A d\lambda \]

모든 곳에서, 거의 모든 곳에서

- 르벡측도 0인 곳을 제외하고는 어떠한 명제가 성립할때 거의 모든 곳에서 라는 수식어를 붙인다. 영어로는 almost everywhere 라고 하며 기호로는 a.e. 라고 표현한다.

- 예시1: 아래와 같은 함수 \(f\)를 고려하자.

\[f(x) = \begin{cases} 1 & x\in \mathbb{Q} \\ 0 & x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{cases}\]

이 함수는 거의 모든 곳에서 0이다.

기호로는 \(f \overset{a.e.}{=} 0\) 혹은 \(f \overset{a.e.}{=} 0\) w.r.t. \(\lambda\) 와 같이 표현한다.

- 예시2: 아래와 같은 함수 \(f,g\)를 고려하자.

\[f(x) = \begin{cases} 1 & x\in \mathbb{Q} \\ 0 & x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{cases}\]

\[g(x) = \begin{cases} 2 & x\in \mathbb{Q} \\ 0 & x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{cases}\]

함수 \(f\)와 \(g\)는 거의 모든 곳에서 같다.

기호로는 \(f\overset{a.e.}{=} g\) 혹은 \(f\overset{a.e.}{=} g\) w.r.t. \(\lambda\) 와 같이 표현한다.

- 예시3: 아래와 같은 함수 \(f,g\)를 고려하자.

\[f(x) = \begin{cases} 0 & x\in \mathbb{Q} \\ 1 & x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{cases}\]

함수 \(f\)는 거의 모든 곳에서 양수이다.

기호로는 \(f\overset{a.e.}{>} 0\) 혹은 \(f\overset{a.e.}{>} g\) w.r.t. \(\lambda\) 와 같이 표현한다.

- 예시4: 아래와 같은 함수 \(f,g\)를 고려하자.

\[f(x) = \begin{cases} 0 & x\in \mathbb{Q} \\ 1 & x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{cases}\]

\[g(x) = \begin{cases} 0 & x\in \mathbb{Q} \\ 2 & x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{cases}\]

함수 \(f\)는 거의 모든 곳에서 \(g\)보다 작다.

기호로는 \(f\overset{a.e.}{<} g\) 혹은 \(f\overset{a.e.}{<} g\) w.r.t. \(\lambda\) 와 같이 표현한다.

- 예시4: 만약에 아래와 같은 함수 \(f,g\)가 있다면

\[f(x) = \begin{cases} 1 & x\in \mathbb{Q} \\ 0 & x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{cases}\]

\[g(x) = \begin{cases} 1 & x\in \mathbb{Q} \\ 0 & x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{cases}\]

함수 \(f\)와 \(g\)는 모든 곳에서 같다라고 할 수 있겠다. (보통 그냥 같다라고 하죠..)